MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

equação Graceli dimensional relativista  tensorial quântica de campos  G* =  = [  /  IFF ]   G* =   /  G  /     .=   /  G  = [DR] =            .= +   +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

//////

[  /  IFF ]  = INTERAÇÕES DE FORÇAS FUNDAMENTAIS. =

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

G* =  OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI,  E OUTROS.

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Equação

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante ${\displaystyle �}$ por ${\displaystyle |�(\overrightarrow{�},�)⟩}$. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[7]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) ${\displaystyle \widehat{�}|�(\overrightarrow{�},�)⟩=�\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }�}|�(\overrightarrow{�},�)⟩}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Em que ${\displaystyle �}$ é a unidade imaginária, ${\displaystyle \hslash }$ é a constante de Planck dividida por ${\displaystyle 2�}$, e o Hamiltoniano ${\displaystyle \widehat{�}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[8]

${\displaystyle \frac{-{\hslash }^2}{2�}\frac{{�}^2�}{�{�}^2}\left(�\right)+�\left(�\right)�\left(�\right)=��\left(�\right)}$,

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

em que ${\displaystyle �\left(�\right)}$ é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ${\displaystyle �}$; ${\displaystyle \hslash }$ é a constante de Planck ${\displaystyle ℎ}$ dividida por ${\displaystyle 2�}$; ${\displaystyle �}$ é a massa da partícula; ${\displaystyle �\left(�\right)}$ é a função energia potencial e ${\displaystyle �}$ é a energia do sistema.

Equação multidimensional

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[9]

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2�}{\mathrm{\nabla }}^2�\left(\overrightarrow{�}\right)+�\left(\overrightarrow{�}\right)�\left(\overrightarrow{�}\right)=��\left(\overrightarrow{�}\right)}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

em que ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2�=\sum _{�=1}^{�}\frac{{\mathrm{\partial }}^2�}{\mathrm{\partial }{�}_{�}^2}}$ 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

é o operador laplaciano em ${\displaystyle �}$ dimensões aplicado à função ${\displaystyle �}$.

Relação com outros princípios

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: ${\displaystyle {�}_{�}={�}_{�}+�}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Equação do Oscilador harmônico: ${\displaystyle \frac{{�}^2�}{�{�}^2}+{\left(\frac{2�}{�}\right)}^2�=0}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Relação de De Broglie: ${\displaystyle �=\frac{ℎ}{�}}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Onde ${\displaystyle �}$ é a função de onda, ${\displaystyle �}$ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que ${\displaystyle �=\frac{ℎ}{��}}$, 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

${\displaystyle \frac{{�}^2�}{�{�}^2}+{\left(\frac{2���}{ℎ}\right)}^2�=0\to \frac{{�}^2�}{�{�}^2}=\frac{-4(�{)}^2{�}^2{�}^2}{{ℎ}^2}�\to \frac{-{ℎ}^2}{4(�{)}^2{�}^2}\frac{{�}^2�}{�{�}^2}={�}^2�}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Rearranjando a equação de energia, temos que ${\displaystyle {�}^2=\frac{2({�}_{�}-�)}{�}}$, 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  substituindo ${\displaystyle {�}^2}$ na equação anterior:

${\displaystyle \frac{-{ℎ}^2}{4(�{)}^2�}\frac{{�}^2�}{�{�}^2}=2({�}_{�}-�)�}$ ,

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

 definindo ${\displaystyle \hslash =\frac{ℎ}{2�}}$, 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

temos:

${\displaystyle \frac{-{\hslash }^2}{2�}\frac{{�}^2�}{�{�}^2}+��=��}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

${\displaystyle \widehat{�}�=��}$, 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

em que ${\displaystyle \widehat{�}�}$ é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[10]

${\displaystyle �\left(�\right)=\frac{1}{2}�{�}^2}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Lembrando a relação ${\displaystyle �=\sqrt{\frac{�}{�}}}$, 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

 pode se escrever:

${\displaystyle �\left(�\right)=\frac{1}{2}�{�}^2{�}^2}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2�}\frac{{�}^2�}{�{�}^2}+\frac{1}{2}�{�}^2{�}^2�=��}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

${\displaystyle {�}_{�}(�)=\sqrt{\frac{1}{2^{�}�!}}\cdot {\left(\frac{��}{�\hslash }\right)}^{1/4}\cdot {�}^{-\frac{��{�}^2}{2\hslash }}\cdot {�}_{�}\left(\sqrt{\frac{��}{\hslash }}�\right),}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle �=0,1,2,\dots .}$

em que H_n são os polinômios de Hermite.

${\displaystyle {�}_{�}(�)=(-1{)}^{�}{�}^{{�}^2}\frac{{�}^{�}}{�{�}^{�}}\left({�}^{-{�}^2}\right)}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

E os níveis de energia correspondentes são:

${\displaystyle {�}_{�}=\hslash �\left(�+\frac{1}{2}\right).}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

As equações de Madelung ou as equações da hidrodinâmica quântica são uma formulação alternativa de Erwin Madelung equivalente à equação de Schrödinger, escrita em termos de variáveis hidrodinâmicas, similar às equações de Navier-Stokes da dinâmica dos fluidos. A derivação das equações de Madelung^[1] é semelhante à formulação de de Broglie-Bohm, que representa a equação de Schrödinger como uma equação quântica de Hamilton-Jacobi .

Equações[editar | editar código-fonte]

As equações de Madelung ^[2] são equações de Euler quânticas:^[3]

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{�}{�}_{�}+\mathrm{\nabla }\cdot ({�}_{�}\mathbf{�})=0,}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

${\displaystyle \frac{�\mathbf{�}}{��}={\mathrm{\partial }}_{�}\mathbf{�}+\mathbf{�}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{�}=-\frac{1}{�}\mathrm{\nabla }(�+�)}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde ${\displaystyle \mathbf{�}}$ é a velocidade do fluxo ${\displaystyle {�}_{�}=��=�|�{|}^2}$ 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

é a densidade de massa, ${\displaystyle �=-\frac{{\hslash }^2}{2�}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{�}}{\sqrt{�}}=-\frac{{\hslash }^2}{2�}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{{�}_{�}}}{\sqrt{{�}_{�}}}}$ 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

é o potencial quântico de Bohm e ${\displaystyle �}$ é o potencial da equação de Schrödinger. A circulação do campo de velocidade de fluxo ao longo de qualquer trajetória fechada obedece à condição auxiliar .^[4]

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

As equações de Madelung são derivadas escrevendo-se a função de onda na forma polar

${\displaystyle �(\mathbf{�},�)=\sqrt{\frac{1}{�}{�}_{�}(\mathbf{�},�)}{�}^{\frac{�}{\hslash }�(\mathbf{�},�)}}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

e substituindo esta forma na equação de Schrödinger

${\displaystyle �\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }�}�(\mathbf{�},�)=\left[\frac{-{\hslash }^2}{2�}{\mathrm{\nabla }}^2+�(\mathbf{�},�)\right]�(\mathbf{�},�)}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

O fluxo de velocidade é definido por

${\displaystyle \mathbf{�}(\mathbf{�},�)=\frac{1}{�}\mathrm{\nabla }�}$,

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

a partir do qual também descobrimos que ${\displaystyle \frac{1}{�}{�}_{�}\mathbf{�}=\mathbf{�}=\frac{\hslash }{2��}[{�}^{\ast }(\mathrm{\nabla }�)-�(\mathrm{\nabla }{�}^{\ast })]}$, 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde ${\displaystyle \mathbf{�}}$ é a corrente de probabilidade da mecânica quântica padrão.

A força quântica, que é o negativo do gradiente do potencial quântico, também pode ser escrita em termos do tensor quântico de pressão.

${\displaystyle {\mathbf{�}}_{\mathbf{�}}=-\mathrm{\nabla }�=-\frac{�}{{�}_{�}}\mathrm{\nabla }\cdot {\mathbf{�}}_{�}}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

onde

${\displaystyle {\mathbf{�}}_{�}=-(\hslash /2�{)}^2{�}_{�}\mathrm{\nabla }\otimes \mathrm{\nabla }\ln {�}_{�}}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

A integral de energia armazenada no tensor de pressão quântica é proporcional à informação de Fisher, que é responsável pela qualidade das medições. Assim, de acordo com o limite de Cramér-Rao, o princípio da incerteza de Heisenberg é equivalente a uma desigualdade padrão para a eficiência (estatística) das medições. A definição termodinâmica do potencial químico quântico ${\displaystyle �=�+�=\frac{1}{\sqrt{{�}_{�}}}\widehat{�}\sqrt{{�}_{�}}}$ 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

segue do equilíbrio da força hidrostática acima ${\displaystyle \mathrm{\nabla }�=(�/{�}_{�})\mathrm{\nabla }\cdot {\mathbf{�}}_{�}+\mathrm{\nabla }�}$. 

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

De acordo com a termodinâmica, em equilíbrio, o potencial químico é constante em todos os lugares, o que corresponde diretamente à equação estacionária de Schrödinger. Portanto, os autovalores da equação de Schrödinger são energias livres, que diferem das energias internas do sistema. A energia interna das partículas é calculada via ${\displaystyle �=�-\mathrm{tr}({\mathbf{�}}_{�})(�/{�}_{�})=-{\hslash }^2(\mathrm{\nabla }\ln {�}_{�}{)}^2/8�+�}$

 /  G* =  = [          ] ω  , ,          .= G*  

 e está relacionado com a correção local de Carl Friedrich von Weizsäcker .^[5] No caso de um oscilador harmônico quântico, por exemplo, pode-se facilmente mostrar que a energia do ponto zero é o valor do potencial químico do oscilador, enquanto a energia interna do oscilador é zero no estado fundamental,${\displaystyle �=0}$. Assim, a energia do ponto zero representa a energia para colocar um oscilador estático no vácuo, o que mostra novamente que as flutuações do vácuo são a razão da mecânica quântica.